関数f(x)は意味不明? わかりやすく解説!!

はじめに

数学Ⅰの「二次関数」で最初に登場する、関数$f(x)$。
数学の授業ではよく説明されないまま使われてしまっているばかりに、結局何のことかわからない。実際、著者も最初はよくわからないまま使っていましたし、テストでは結局なにのことを言っているのかさっぱり。数学アレルギーの発端の一つとも言えるのではないでしょうか。

そこで、このページでは関数$f(x)$に注目して、詳しく丁寧に解説していきます。

まずは具体例から

まずは、簡単な例を考えてみましょう。ある工場には、ベルトコンベアがあります。このベルトコンベアの真ん中には、fという名前のマシーンがあります。

この工場では、マシーンfに対して以下のようなルールを設定しています。

• 例えば、2がマシーンに入ると、出力は4となる。
• もし3が入ると、出力は9になる。
• -4が入ると、出力は16になる。

このように、マシーンfは入ってきた数を2乗して出力します。

ベルトコンベアに今度は“$x$“が流れてきました。

そもそもこの$x$とは一体何なのでしょうか。
皆さんは「ミスターX」という言葉は聞いたことがありますか。身元不明・未知の人間に対して使われる言葉です。ここでの$x$も同じで、「未知の数」を表しています。つまり、正体不明だけど何らかの数であるということです。

このとき、マシーンfに$x$が入ると、ルールに従って$x$を２乗した数、つまり$x^2$を出力するというわけです。$x$は未知の数だったわけですが、例えば$x=2$と判明したなら、$x^2=4$なので先程説明したルールを守っていることがわかりますね。

f(x)の意味

直前で話したことをまとめてみると、

「fに$x$が入ると、$x^2$が出力される」

ということになります。しかし、いちいちこのように書いていては長ったらしいので、下のように書いてみましょう。

つまり、$f(x)=x^2$というのは、何らかの数$x$をfというものに通してあげることで、$x^2$を出力するという意味です。このように、$f(x)$は、入力された数を決められたルールによって新しい数に変えるという働きを持っています。この$f(x)$自体は自由に選ぶことができ、例として

• $f(x)=2x$ ($x$を2倍にする)
• $f(x)=4x^3$ ($x$を3乗して、4倍する)

などであったり、ルールさえ決まっていれば大丈夫なので、

• $f(x)= \begin{cases} 1 & \text{($x\geqq0$)} \\ 0 & \text{($x<0$)}\end{cases}$($x$が0以上なら1、$x$が0未満なら0)

ということだってできたりもします。

「関数」の本当の意味

今まで、$f(x)$とは一体どんなものなのかということを、工場の例を使って説明してきました。では今度はこのようなルールを設定した場合どうなるでしょうか。

これを、$f(x)$の形で書くと、$f(x)= \begin{cases} 1 & \text{($x\geqq-1$)} \\ 0 & \text{($x\leqq1$)} \end{cases}$となります。(なんとなく理解すれば大丈夫です。)

今、マシーンに0が流れ込んできました。
このとき「0は-1以上なので1を出力したいところですが、0は当然1以下なので、0を出力したい…..」ということになります。マシーンは一つしか数を出力できないので、これではおかしいことになってしまいます。

この「おかしい状態」を避けるためにルールを次のように設定し直しました。

これを、$f(x)$の形で書くと、$f(x)= \begin{cases} 1 & \text{($x\geqq-1$)} \\ 0 & \text{($x<-1$)}\end{cases}$となります。

マシーンに0が流れ込んできました。
今度は「0は当然-1以上なので0を出力し、0は-1未満ではないので0が正常に出力される」ということになります。他の数でも同様に「おかしい状態」にはならなそうですね。(色々な数を入れて試してみてください。)

この「おかしい状態」にならないようなfのことを、関数と言います。具体的に関数の定義を言うと、

というわけです。
「f(x)の意味」で紹介した例も全てこの、関数の性質を満たしていることを確認してみてください。